描述性统计学

基本概念

同质 (Homogeneity)：指数据样本的同质性，即样本中各个个体之间的相似性或一致性。
变异 (Variation)：指数据样本中各个个体之间的差异性或变化程度。
总体 (Population)：研究对象的全部个体的集合。描述总体特征的统计学指标称为参数 (Parameter)。
样本 (Sample)：从总体中抽取的一部分个体。由样本计算出的特征指标称为统计量 (Statistic)。
变量 (Variable)：随机变量的简称，是研究对象的属性或特征，可以在不同个体之间或同一个体在不同时间上取不同值。
数据 (Data)：变量的观测值

数据类型及其分布

定量数据（quantitative data）

连续型

正态分布：t 检验，方差分析，相关性检验

\[ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}} e^{\frac {−(x−μ) ^2 }{2σ^2 }} \]

其中，$\mu$是均值， $\sigma$是标准差

Code

library(ggplot2)
library(tibble)
# 标准正态分布
normal_data <- tibble(x = seq(-5, 5, length.out = 500),
                      y = dnorm(x, mean = 0, sd = 1))


ggplot(normal_data, aes(x = x, y = y)) +
    geom_line() +
    ggtitle("Normal Distribution")

对数正态分布：非参数检验
指数分布：广义线性模型，对数秩（log-rank ）检验

\[ f(x)=λe^{−λx}，x\ge 0 \]

其中，默认(rate)：$\lambda = 1$。

Code

# 指数分布
exponential_data <- tibble(x = seq(0, 3, length.out = 100),
                           y = dexp(x, rate = 1))


ggplot(exponential_data, aes(x = x, y = y)) +
    geom_line() +
    ggtitle("Exponential Distribution")

均匀分布

离散型

二项分布

伯努利分布

Bernoulli 试验

\[ P(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} \]

Code

# 二项分布
binomial_data <- tibble(x = 0:30, y = dbinom(x, size = 30, prob = 0.5))

ggplot(binomial_data, aes(x = x, y = y, color = y)) +
    geom_col() +
    ggtitle("Binomial Distribution")

负二项分布：DESeq2 差异分析

\[ P(x)=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(n)\ x!}p^n(1-p)^x \]

其中，均值 $\mu = \frac{n(1-p)}{p}$，方差 $\frac{(1-p)}{p^2}$。

Code

# 负二项分布
negative_binomial_data <- tibble(x = 0:20, y =  dnbinom(x, size = 1, prob = 0.5))

ggplot(negative_binomial_data, aes(x = x, y = y)) +
    geom_bar(stat = "identity") +
    ggtitle("Negative Binomial Distribution")

泊松分布

DNA 点突变

\[ P(x)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}，E(X)=Var(X)=λ \]

Code

# 泊松分布
poisson_data <- tibble(x = 0:20,
                       y = dpois(x, lambda = 5))

ggplot(poisson_data, aes(x = x, y = y)) +
    geom_col() +
    ggtitle("Poisson Distribution")

超几何分布：Hypergeometric Distribution，不放回抽样， Fisher’s Exact Test

\[ P(x)=\frac{\binom {m}{x}\binom{n}{k-x}}{\binom{m+n}{k}}；x=0，...，k；p=m/(m+n) ；N=m+n \]

其中，$p = \frac{m}{m+n}$，$N = m+n$，均值 $E[X] = \mu = kp$，方差 $Var(X) = kp(1-p) \frac{(m+n-1)}{(m+n-k)}$。

Code

# 超几何分布
hypergeometric_data <- tibble(x = -10:10, y = dhyper(x, m = 10,n = 7,k = 8))

ggplot(hypergeometric_data, aes(x = x, y = y)) +
    geom_bar(stat = "identity") +
    ggtitle("Hypergeometric Distribution")

多项式分布

DNA [ A, G, C, T ]

假设我们有四个可能性相等的框。使用公式，在第一个框中观察到 4，在第二个框中观察到 2，而在其他两个框中没有观察到的概率是多少？

Code

dmultinom(c(4, 2, 0, 0), prob = rep(1/4, 4))
#> [1] 0.003662109

定性数据（qualitative data）

名义型（nominal）

有序型（ordered）

数据可视化

# 描述性统计学 {.unnumbered} ## 基本概念 - **同质 (Homogeneity)**：指数据样本的同质性，即样本中各个个体之间的相似性或一致性。 - **变异 (Variation)**：指数据样本中各个个体之间的差异性或变化程度。 - **总体 (Population)**：研究对象的全部个体的集合。描述总体特征的统计学指标称为参数 (Parameter)。 - **样本 (Sample)**：从总体中抽取的一部分个体。由样本计算出的特征指标称为统计量 (Statistic)。 - **变量 (Variable)**：随机变量的简称，是研究对象的属性或特征，可以在不同个体之间或同一个体在不同时间上取不同值。 - **数据 (Data)**：变量的观测值 ## 数据类型及其分布 ### 定量数据（quantitative data） #### 连续型 a. **正态分布**：t 检验，方差分析，相关性检验 $$ f(x)= \frac{1}{\sqrt{2πσ^2}} e^{\frac {−(x−μ) ^2 }{2σ^2 }} $$ 其中，$\mu$是均值， $\sigma$是标准差 ```{r} library(ggplot2) library(tibble) # 标准正态分布 normal_data <- tibble(x = seq(-5, 5, length.out = 500), y = dnorm(x, mean = 0, sd = 1)) ggplot(normal_data, aes(x = x, y = y)) + geom_line() + ggtitle("Normal Distribution") ``` b. **对数正态分布**：非参数检验 c. **指数分布**：广义线性模型，对数秩（log-rank ）检验 $$ f(x)=λe^{−λx}，x\ge 0 $$ 其中，默认(rate)：$\lambda = 1$。 ```{r} # 指数分布 exponential_data <- tibble(x = seq(0, 3, length.out = 100), y = dexp(x, rate = 1)) ggplot(exponential_data, aes(x = x, y = y)) + geom_line() + ggtitle("Exponential Distribution") ``` d. **均匀分布** #### 离散型 a. **二项分布** 伯努利分布 Bernoulli 试验 $$ P(x)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} $$ ```{r} # 二项分布 binomial_data <- tibble(x = 0:30, y = dbinom(x, size = 30, prob = 0.5)) ggplot(binomial_data, aes(x = x, y = y, color = y)) + geom_col() + ggtitle("Binomial Distribution") ``` b. **负二项分布**：`DESeq2` 差异分析 $$ P(x)=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(n)\ x!}p^n(1-p)^x $$ 其中，均值 $\mu = \frac{n(1-p)}{p}$，方差 $\frac{(1-p)}{p^2}$。 ```{r} # 负二项分布 negative_binomial_data <- tibble(x = 0:20, y = dnbinom(x, size = 1, prob = 0.5)) ggplot(negative_binomial_data, aes(x = x, y = y)) + geom_bar(stat = "identity") + ggtitle("Negative Binomial Distribution") ``` c. **泊松分布** DNA 点突变 $$ P(x)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}，E(X)=Var(X)=λ $$ ```{r} # 泊松分布 poisson_data <- tibble(x = 0:20, y = dpois(x, lambda = 5)) ggplot(poisson_data, aes(x = x, y = y)) + geom_col() + ggtitle("Poisson Distribution") ``` d. **超几何分布**：Hypergeometric Distribution，不放回抽样， Fisher's Exact Test $$ P(x)=\frac{\binom {m}{x}\binom{n}{k-x}}{\binom{m+n}{k}}；x=0，...，k；p=m/(m+n) ；N=m+n $$ 其中，$p = \frac{m}{m+n}$，$N = m+n$，均值 $E[X] = \mu = kp$，方差 $Var(X) = kp(1-p) \frac{(m+n-1)}{(m+n-k)}$。 ```{r} # 超几何分布 hypergeometric_data <- tibble(x = -10:10, y = dhyper(x, m = 10,n = 7,k = 8)) ggplot(hypergeometric_data, aes(x = x, y = y)) + geom_bar(stat = "identity") + ggtitle("Hypergeometric Distribution") ``` e. **多项式分布** DNA \[ A, G, C, T \] ![](images/clipboard-3833682314.png) 假设我们有四个可能性相等的框。使用公式，在第一个框中观察到 4，在第二个框中观察到 2，而在其他两个框中没有观察到的概率是多少？ ![](images/clipboard-1126193759.png) ```{r} dmultinom(c(4, 2, 0, 0), prob = rep(1/4, 4)) ``` ### 定性数据（qualitative data） #### 名义型（nominal） #### 有序型（ordered） ## 数据可视化